理科教学楼,阶梯教室。

刘若传教授双手撑在讲台上,面带笑容的看着座位上那些CPU已经被干冒烟的学生们。

说实话,他出这道题,就没想让这群刚入学的大一新生做出来。

“我拿考研究生的题来试试你们的水平,不过分吧......”

刘教授心里也有点痒痒。

元培学院嘛,万一真有哪个怪胎能做出来呢?他作为数院副院长拐几个好苗子,没问题吧………………

看着台下没一个人有思路,一个个眉头紧锁的样子。

刘教授笑了笑,决定再拱一把火。

教书嘛,图的就是一个开心………………

“这道题呢,其实并不超纲。’

“只要你们认真听讲了,把我这节课讲的子空间交与和的概念吃透了,那肯定能做出来的。”

“所以,对于你们这种勇于挑战的学习态度,我是表示鼓励”

“谁要是能上来把它解了,这门课后面的平时分,我直接算你们满分!”

台下的天之骄子们脑袋嗡嗡作响。

“吃透了就能做出来?刘教授您是不是在玩我们呢?”

“平时分给满?这饼画得也太硬了吧,根本不动啊!”

可就在刘教授刚说完的时候,第一排一个身影就站了起来。

坐在旁边的刘强和陈楠直接愣住了,下巴微张。

404数学第一人王浩,也错愕的抬起了头。

李东说道。

“刘老师,我想试试。”

他倒不是想装逼,主要是,他志在物理,要是以后物理和数学撞车,那他说不定数学的平时分就拿不满了。

刘教授也没看清什么东西一下子就在他眼皮底下站了起来,微微一滞。

他对李东是有一点印象的,知道他姓李。

倒不是因为李东是川渝的理科状元。

毕竟在元培,一块砖头砸下去能砸出三个状元。

而是因为这个学生刚开学的第二天,就找辅导员请了假,说是去浙大推进一个生物学的课题。

刚上大一就能跨省去独立推进科研课题,这学生的能力很强………………

所有他也有一丝期待。

“好,那你上来试试吧。”

李东走上讲台,想也没想直接在黑板上写了起来。

他知道这道题的陷阱在哪。

很多人看到这题,第一反应是对V1和V2分别进行扩基,但这会导致后面构造出的W无法同时满足两个直和条件。

真正的切入点,在于先处理它们的交空间。

第一步:处理交集与扩基。

李东写下核心思路:先取VinV2的一组基,然后利用“子空间扩基定理”,将其分别扩充为V1的基和V2的基。

刘教授站在一旁,暗暗点头。

“基本功很扎实,直觉敏锐,第一步就避开了最大的陷阱。”

第二步:证明线性无关。

这是整道题最难啃的骨头。

李东没有陷入繁琐的死算,而是直指本质:他设出b组和c组向量的线性组合等于0的方程,巧妙地一移项:等式左边全属于V1,右边全属于V2,那它们自然都属于交集 Vin V2。

接着代入第一步的交集基底,利用已知基向量的线性无关性,三两步就反推出所有的组合系数必须全为0。

干净利落地证明了b组和c组向量合并后,依然线性无关!

第三步:构造补空间 W。

既然前面的组和y组向量合并后依然线性无关,那就再用一次扩基定理,把它们连同交空间的基一起,扩充为整个空间V的一组基!

李东在黑板上圈出了组和y组的向量,再给每一对_iy_i都加上了加号,圈出扩基时最后补充的那组全新?向量。

“令这组_ity_i的组合向量,和新增的向量,共同生成的子空间为 W。”

随后,就是几行简明的维度计算。

无论是V1还是V2,它们的维数加上W的维数,刚好都等于总维数,且与W的交集均为零空间。

故 V = V1⊕ W = V2⊕W。

满足条件的子空间W存在,证毕!

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